絕密★啟用前
2021年普通高等學校招生全國統一考試(乙卷)
文科數學
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知全集,集合
,則
( )
A. B.
C.
D.
2.設,則
( )
A. B.
C.
D.
3.已知命題﹔命題
﹐
,則下列命題中為真命題的是( )
A. B.
C.
D.
4.函數的最小正周期和最大值分別是( )
A.和
B.
和2 C.
和
D.
和2
5.若滿足約束條件
則
的最小值為( )
A.18 B.10 C.6 D.4
6.( )
A. B.
C.
D.
7.在區間隨機取1個數,則取到的數小于
的概率為( )
A. B.
C.
D.
8.下列函數中最小值為4的是( )
A. B.
C. D.
9.設函數,則下列函數中為奇函數的是( )
A. B.
C.
D.
10.在正方體中,P為
的中點,則直線
與
所成的角為( )
A. B.
C.
D.
11.設B是橢圓的上頂點,點P在C上,則
的最大值為( )
A. B.
C.
D.2
12.設,若
為函數
的極大值點,則( )
A. B.
C.
D.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知向量,若
,則
_________.
14.雙曲線的右焦點到直線
的距離為________.
15.記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為
,
,
,則
________.
16.以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖,組成某三棱錐的三視圖,則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可).
三、解答題.共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟,第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.(12分)
某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:
舊設備 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 |
新設備 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和
,樣本方差分別記為
和
.
(1)求,
,
,
;
(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果,則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高,否則不認為有顯著提高).
18.(12分)
如圖,四棱錐的底面是矩形,
底面
,M為
的中點,且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,求四棱錐
的體積.
19.(12分)
設是首項為1的等比數列,數列
滿足
.已知
,
,
成等差數列.
(1)求和
的通項公式;
(2)記和
分別為
和
的前n項和.證明:
.
20.(12分)
已知拋物線的焦點F到準線的距離為2.
(1)求C的方程;
(2)已知O為坐標原點,點P在C上,點Q滿足,求直線
斜率的最大值.
21.(12分)
已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)求曲線過坐標原點的切線與曲線
的公共點的坐標.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.
22.[選修4-4:坐標系與參數方程](10分)
在直角坐標系中,
的圓心為
,半徑為1.
(1)寫出的一個參數方程;
(2)過點作
的兩條切線.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求這兩條切線的極坐標方程.
23.[選修4-5:不等式選講](10分)
已知函數.
(1)當時,求不等式
的解集;
(2)若,求a的取值范圍.
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